[Graphics] Row Major vs Column Major

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모든 테스트는 visual studio 22 (v143) 으로 진행했습니다.

개요

matrix 저장방식인 row major 와 column major의 차이점과 실제 사용예제를 설명한다.

정의

matrix M
[a b c d]
[e f g h]
[i j k l]
[m n o p]

모든 index는 zero-base입니다.

Row Major

matirx를 저장할 때 행을 기준으로 저장하는 방식을 말한다. matrix M 의 메모리는
(a b c d) (e f g h) (i j k l) (m n o p) 로 저장된다.

Column Major

matrix를 저장할 때 열을 기준으로 저장하는 방식을 말한다. matrix M 의 메모리는
(a e i m) (b f j n) (c g k o) (d h l p) 로 저장된다.

주의할 점

matrix element 의 위치

row major 와 column major는 순수하게 저장하는 방식에 대한 내용이다. matrix의 (i, j) 의 값은 바뀌지 않는다. 하지만 어떻게 저장하느냐에 따라서 메모리의 위치는 바뀔 수 있다.

예를 들어서 matrix M 의 (1, 2) 를 접근하고 싶다고 할 때

row-major: M[1][2]
column-major: M[2][1]

위 처럼 다른 방식으로 접근해야한다.

곱셈

major는 저장하는 방식의 차이이므로 matrix 곱셈 방식은 달라지지 않는다. 하지만 메모리의 위치가 달라졌기 때문에 계산식은 달라질 수 있다.

[a b c d]   [x]
[e f g h] * [y] = [a*x + b*y + c*z + d*w, ... ]
[i j k l]   [z]
[m n o p]   [w]

이러한 식이 있을 때 b 는 row-major일 때는 M[0][1] 이지만 column-major일 때는 M[1][0] 으로 접근해야한다.

사용 예제

DirectX11

docs를 보면 XMMATRIX가 row major 로 정의되었다고 되어있다.

docs만 보면 아쉬우니 간단하게 DirectX::XMMATRIX가 어떻게 정의되어있는지 잠깐 보고 가자.

#ifdef _XM_NO_INTRINSICS_
    struct XMMATRIX
#else
    XM_ALIGNED_STRUCT(16) XMMATRIX
#endif
    {
#ifdef _XM_NO_INTRINSICS_
        union
        {
            XMVECTOR r[4];
            struct
            {
                float _11, _12, _13, _14;
                float _21, _22, _23, _24;
                float _31, _32, _33, _34;
                float _41, _42, _43, _44;
            };
            float m[4][4];
        };
#else
        XMVECTOR r[4];
#endif
// constructors...

위 코드는 DirectX::XMMATRIX 의 헤더 파일의 정의부분이다. XMVECTOR r[4]; 로 정의되어있는것을 확인할 수 있다.

그리고 DirectX::XMVECTOR는

    using XMVECTOR = __m128;

로 정의 되어있고 __m128 은 microsoft 내부적으로 사용하는 SIMD 확장 명령에 사용되는 변수로 연속된 128bits를 뜻한다. (아무튼 빠르게 계산해준다.)

연속된 메모리 4개로 matrix 를 구현하고 있다고 row major 인것은 아니지만 r[4] 라는 변수를 사용한 것과 union 으로 정의된 배열 모양을 보면 row major라고 이해해도 괜찮을 것 같다.

HLSL

docs에 따르면 신기하게도 DirectX에서 사용하는 HLSL matrix의 major는 column major 이다.

위와 같은 이유 때문에 DirectX 에서 hlsl의 matrix로 데이터를 넘길 때는 transpose 해서 넘겨야한다.

그래서 일반적으로 world * view * projection 로 vertex 변환을 진행하는데, CPU 단계 (DirectX) 에서 계산된 결과를 GPU 단계 (HLSL vertex shader) 에서 사용할 때는 transpose 해서 넘기게 된다.

image-center
위 사진은 hlsl 에 저장된 vertex를 (-10, -9, -2.5) 만큼 이동하는 matrix이다.
데이터를 확인하면 column major 인 것을 확인할 수 있다.

결론

matrix에서 major는 단순히 저장하는 방식일 뿐이다. 편의에 의해서 계산 방식을 바꿀 순 있지만 계산의 효율성 문제지 저장의 문제가 아니다. (이에 관련해서 추후에 포스팅 예정이다)

참조

Microsoft Learn: XMMATRIX structure
Microsoft Learn: __m128
Microsoft Learn: hlsl matrix ordering

Ditvee